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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 BWym|J/  
iBa7Rm  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. p &\*P  
HfA>P1LF  
　　1、三角函数本质： d("k6uN8U  
N KwQH  
　　三角函数的本质来源于定义 ?&mr:ZI  
uSx-m,j  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 /8B{JIX  
"#YGT^UFx  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 &Q @p"xS&  
.0}y*@v  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： m:q=T42.G  
P@6a6mzK,  
　　推导： FU6\ gT  
(q-q ~4/  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 xAn8-~+X \  
25KZuo  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) uZRoQg+A  
Fa#Fo^"f  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) 15n*T/-qs  
9y74nF0VFF  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 g3d^Qh>=  
?+6+vO$  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） <ow9s!wZ  
 eTNZ^xa  
　　[1] [ocGh/hp  
l4h$$Q3  
　　两角和公式 zZ\>M9Z  
U68 dsc*g  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB y3 DU  
?"IQ0q8  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  h:I5O$5  
it2F&)IL ?  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB Ss !:'b:8  
m=&b+auG  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB NVp> ww /  
,*C-8+v1  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) ehfI1##  
j ;?om9  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) XL Pd_n  
a'/<#%]U  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)   k|/K){<Z  
#lc+b6g]  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) OTFf\=8k  
j^9c>Qu  
倍角公式 i)n1ok9Y#  
>j%VLo H  
　　Sin2A=2SinA•CosA [Zs    
gL%cj_sF  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 ~IxzI   
J+_>dk:  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） **$'H_0V  
#~b 66n  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） &%gyU6$BD  
5#0I nG  
三倍角公式 0$hg,R|C  
`^H<4% t  
　　 U0}uP)mmJ  
X,=DrhH  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) { 0uC^5  
%_Ca2:h,e  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) iH^]UO@%h  
#H&H};!O  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a)  X3_QA)  
SRsX-  
三倍角公式推导 d8Q9`[l!  
?@YM$rrF  
　　sin3a 'HouZhWR  
c]}@3fePyj  
　　=sin(2a+a) <'Q& %L;o  
15AgDNm  
　　=sin2acosa+cos2asina .5uG?[M+f)  
AH_\jU?S  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina }4Id:A  
s_|:z<x  
　　=3sina-4sin³a e{3#Y1V:#  
C}!3?   
　　cos3a NkP )o+|  
a69hN.  
　　=cos(2a+a) <Gcd$hz  
(HTfl4g!P  
　　=cos2acosa-sin2asina -BNAqtR  
_i5`s U  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa _e~v7>-  
sWz G lUW  
　　=4cos³a-3cosa I!J|fi7|  
051J[1F8w  
　　sin3a=3sina-4sin³a ^Hlx5l1!z  
So h<X~wNT  
　　=4sina(3/4-sin²a) J@~/8Ft!  
&4V _  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] Jkbn{+(h  
!,=/TB&  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) 2*"l-  
6`k mv$g|F  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) q%v-F_b[f  
Oib2>T  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] @Sin$ ~n  
icRHAn>  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) !Z_Ia*i-  
|0#0K~@4  
　　cos3a=4cos³a-3cosa e `QIkh6*  
uoY PwD*H  
　　=4cosa(cos²a-3/4) q!^'9Mb  
X>G>rf/dP  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] P8xQl~  
V\nW :u)  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) ]L=Q5^>&,  
_O\<r#T'  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) k%*7ufZ  
gyFwg RGR  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} arAw!V3  
.9Zt@(U<c  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) p,li)pp/  
!*| n^=<f  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] a'9NNCM/  
S&QUP $Or  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] ,h$Y 7rdQ  
/mAHh)u|  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) k1U'gF h  
)**SF5f  
　　上述两式相比可得 _>Us`7   
hfl}w=6H  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) Kvn #?V ]  
o6 s{D#  
半角公式  P1Qb  
XRC1Tz}n$!  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); x'zx)0/~~  
SU @Q5r[-  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. U($wD   
U@Gw8'}ft  
和差化积 NXT%[K%  
y-M89/78N"  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] uVr(*SB  
{ \ID{B[  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] UCf~1{0s  
^] ce{bBp  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] ^qMQ@a[C  
x/^-4F  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] ye]c_g  
Nvqu`%Kq  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) ayIx2MP  
s=[13rK tk  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) lG|g71+K7f  
NGDSE=]yG  
积化和差 Y0_ Y8(/}  
8vB"A()'z  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] 56f ~?"Bo  
mN0eQz /  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] /s*V.2k  
{+V4oQoX_  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] +agc5F D  
9K~z"na^  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)]  yoG|  
4PmhcO  
诱导公式 pJK7PRi  
KI,,8  
　　sin(-α) = -sinα 8=RbcYu Y  
5B!%,KO )  
　　cos(-α) = cosα \uu2O/G  
;)c53 uu  
　　sin(π/2-α) = cosα $FT; 0<w/  
Ol3d+Md  
　　cos(π/2-α) = sinα 3lz=tC@.  
M`ykH%]m  
　　sin(π/2+α) = cosα ?* bu  
);U-CVf  
　　cos(π/2+α) = -sinα Z?TOV~  
U3>\;$yd  
　　sin(π-α) = sinα g*!MbAy  
LZpq[ 2  
　　cos(π-α) = -cosα S n/5'r_  
=|\8~Wfrf  
　　sin(π+α) = -sinα w<( _P@  
riDJ%G  
　　cos(π+α) = -cosα 9L(o|M~hQ  
KA3AlWjPW  
　　tanA= sinA/cosA )Wo4[v{W  
~ZulD Usi  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα |F<Y)4>T  
)8m~DN 7  
　　tan（π/2－α）＝cotα 5 vSAeO@1  
hb=klM  
　　tan（π－α）＝－tanα O^H0EEE  
2N*%M]A,  
　　tan（π＋α）＝tanα U+B/^n%  
J Njqv26/%  
万能公式 5 !1H9YMg  
XU^[KO.  
　　 vDZ =:w7V  
|j[[?kb%  
其它公式 Tz@N KNJo  
9<x}'Pb%  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 a$'7jx?"R  
wCo7K!nv  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 C|txuzZ  
k#|P#DW 9w  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 K]Ch  
^+)r'o  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 U\r`Nu  
Z)v2:XR  
　　对于任意非直角三角形,总有 SY;Xg3^i?  
NCcUg2}mr  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC =S\M j/,6  
*<Y:RmW   
　　证: ;Wm6Rr\M[  
"'wz]Z=  
　　A+B=π-C **:Y-%+  
meuuT]5W  
　　tan(A+B)=tan(π-C) GUoi]  
j;kf_El  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) N@;bL  
>La?3Uu=  
　　整理可得 )~oE91r  
B(T771KAS]  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC i^x6V6Nb  
I}\H.Fdx  
　　得证 fEA#xDo !  
|saa{N3 n`  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 >GvhsZ5H  
K<Z"<E)EM  
其他非重点三角函数 8 -K`+;  
DC(HcGj  
　　csc(a) = 1/sin(a) hw`^[rN:  
/|&|D-?pd  
　　sec(a) = 1/cos(a) ~?g|P  
O|m4qp)  
　　 i(? YCeKc  
YL&APq|!@  
双曲函数 S05Z!w8  
?-wZ{9LF#W  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 E?@dR{$u  
N-}]ct 4  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 ^'95 -iX  
IPL* qd  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) II:^G:7r<  
^:!J Tjw  
　　公式一： <nyqf Gnc  
s >>,B t!  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： :gaNoQ  
P/cVfFg:6s  
　　sin（2kπ＋α）= sinα U['@LG>  
3~70SO }H  
　　cos（2kπ＋α）= cosα 1>4{@   
(V9P[L.8/  
　　tan（kπ＋α）= tanα 3C^+zLH   
.<ve*yL:@  
　　cot（kπ＋α）= cotα i AldBrx  
E[Frf;aj  
　　公式二： C*$>AhV2  
t qT6zy)  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： Z+NIwwUlS  
F3) Sl(a  
　　sin（π＋α）= -sinα |pqx>/ >K  
?K[BV  
　　cos（π＋α）= -cosα p,4+|y  
t3X#[Lq$ag  
　　tan（π＋α）= tanα e 1=B>&  
7L#)} Mh  
　　cot（π＋α）= cotα *5[d2+nwt9  
Y ~Kc|)W  
　　公式三： irfZ?b  
2jS>  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： OLutK\g  
HvU{l+  
　　sin（-α）= -sinα W|$>A$x7  
7 fcO1  
　　cos（-α）= cosα `3WhbKoR  
&bx{1D#~p  
　　tan（-α）= -tanα l@vj)oc;  
,2H+xH](  
　　cot（-α）= -cotα V\ %;\#28  
Elsk+D!>8d  
　　公式四： W*d'hwv{  
P+w+s1  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： s54,X FL  
)pu(]\  
　　sin（π-α）= sinα x}DWgf!)  
..2F#3  
　　cos（π-α）= -cosα r CV?VRS  
[petpFk2  
　　tan（π-α）= -tanα Gc{yjLC`  
5@L^y#s  
　　cot（π-α）= -cotα nXNR[E  
j]DX?3qrog  
　　公式五： zSg-=  
.%*LX6!  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： {HijMXZ  
3P8XE  
　　sin（2π-α）= -sinα z//o8t7<+y  
(q1]H`g|  
　　cos（2π-α）= cosα ^SXYn%  
Rd<o Y9d  
　　tan（2π-α）= -tanα MY1x`N^p  
yAmm/S$h  
　　cot（2π-α）= -cotα :9 KEb} {  
%04s'  
　　公式六： xmivOwOd  
2#H4E".  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： e$u^f |;  
Q8o4x:Sa&#  
　　sin（π/2+α）= cosα -xi~0&P  
zbE \ %  
　　cos（π/2+α）= -sinα $0-/*Y;k  
h7I>y7.r?  
　　tan（π/2+α）= -cotα ciN? f6d#  
;,-!ez)  
　　cot（π/2+α）= -tanα g{ugT%t,r  
%rKsCcuDjG  
　　sin（π/2-α）= cosα T>^ X3  
*VVf*`X&n  
　　cos（π/2-α）= sinα \ll\\-^  
GwmA'`2(  
　　tan（π/2-α）= cotα - -h3A (np  
">x^dPt[  
　　cot（π/2-α）= tanα J[ Fg1*  
4VhUsi|%6  
　　sin（3π/2+α）= -cosα 'V{W'#8mka  
8k[}/1;#rD  
　　cos（3π/2+α）= sinα t|2=@~is4m  
7G#}xJ*MC  
　　tan（3π/2+α）= -cotα ]|O"SQ3&6  
RS*uk  
　　cot（3π/2+α）= -tanα >>fb`  
/D&)C#e#  
　　sin（3π/2-α）= -cosα m%f1z1rT  
t8W]0n5  
　　cos（3π/2-α）= -sinα $;N:CMkZ  
'jiT0l  
　　tan（3π/2-α）= cotα d)8S>!.  
,DdK'?8  
　　cot（3π/2-α）= tanα kCj,5U6  
[SJem#ys"  
　　(以上k∈Z) j}t$"d c9  
>-XGj4)  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 P) }g(  
R x31s1}  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = pW'~\Gza  
 m"L1{ 6  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } B !K&TAj  
t#h' Zsqv&  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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